Chứng minh các đẳng thức sau: a) sin^2 605 độ + sin^2 1645 độ + cot^2 25 độ = 1/cos^2 65 độ

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài 6 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin }^{2}605°+{\sin }^{2}1645°+{\cot }^{2}25°=\frac{1}{{\cos }^{2}65°};$

b) $\frac{\sin 530°}{1+\sin 640°}=\frac{1}{\sin 10°}+\cot 10°.$

Lời giải:

a) sin605° = sin(3.180° + 65°) = ‒sin65°.

sin1645° = sin(9.180° + 25°) = ‒sin25° = ‒sin(90° ‒ 65°) = ‒cos65°.

cot25° = cot(90° ‒ 65°) = tan65°.

sin²605° + sin²1645° + cot²25°

= (‒sin65°)² + (‒cos65°)² + (tan65°)²

= 1 + tan²65°

$=\frac{1}{{\text{cos}}^2{65}^{\circ }}$

b) sin530° = sin(3.180° ‒ 10°) = sin10°.

sin640° = sin(4.180° ‒ 80°) = ‒sin(-80°) = ‒sin(90° ‒ 10°) = ‒cos10°.

$\frac{\text{sin}530°}{1+\text{sin}640°}=\frac{\text{sin}10°}{1-\text{cos}10°}=\frac{{\text{sin}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1-{\text{cos}}^{2}10°}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}=\frac{\left(1+\text{cos}10°\right)\left(1-\text{cos}10°\right)}{\text{sin}10°\left(1-\text{cos}10°\right)}$

$=\frac{1+\text{cos}10°}{\text{sin}10°}=\frac{1}{\text{sin}10°}+\text{cot}10°\text{ .}$