Giải Toán 11 trang 16 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 11trang 16Tập 1

Vận dụng 2 trang 16 Toán 11 Tập 1: Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

B(t) = 80 + 7sin$\frac{\pi t}{12}$,

trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Lời giải:

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi đó B(6) = 80 + 7sin$\frac{6\pi }{12}$ = 87.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức t = 10,5, khi đó B(10,5) = 80 + 7sin$\frac{\mathrm{10,5}\pi }{12}$ ≈ 82,68.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68 mmHg.

c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t = 12, khi đó B(12) = 80 + 7sin$\frac{12\pi }{12}$ = 80.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức t = 20, khi đó B(20) = 80 + 7sin$\frac{20\pi }{12}$ = $\frac{160-7\sqrt{3}}{2}.$

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 8 giờ tối là $\frac{160-7\sqrt{3}}{2}$ mmHg.

Bài tập

Bài 1.1 trang 16 Toán 11 Tập 1:Hoàn thành bảng sau:

Lời giải:

Để hoàn thành bảng đã cho, ta thực hiện chuyển đổi từ độ sang rađian và từ rađian sang độ.

Ta có: 15° = 15 . $\frac{\pi }{180}$ = $\frac{\pi }{12}$;

0° = 0 . $\frac{\pi }{180}$ = 0;

900° = 900 . $\frac{\pi }{180}$ = 5π;

$\frac{3\pi }{8}=\frac{3\pi }{8}\cdot \left(\frac{180}{\pi }\right)\begin{array}{c}°\\ \end{array}=\mathrm{67,5}°$;

$-\frac{7\pi }{12}=-\frac{7\pi }{12}\cdot \left(\frac{180}{\pi }\right)\begin{array}{c}°\\ \end{array}=-105°$;

$-\frac{11\pi }{8}=-\frac{11\pi }{8}\cdot \left(\frac{180}{\pi }\right)\begin{array}{c}°\\ \end{array}=-\mathrm{247,5}°$.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

Bài 1.2 trang 16 Toán 11 Tập 1:Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:

a) $\frac{\pi }{12}$;

b) 1,5;

c) 35°;

d) 315°.

Lời giải:

a) Độ dài của cung tròn có số đo $\frac{\pi }{12}$ trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l₁ = 20 . $\frac{\pi }{12}$ = $\frac{5\pi }{3}$ (cm).

b) Độ dài của cung tròn có số đo 1,5 trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l₂ = 20 . 1,5 = 30 (cm).

c) Ta có: 35° = 35 . $\frac{\pi }{180}$ = $\frac{7\pi }{36}$. 

Độ dài của cung tròn có số đo 35° trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l₃ = 20 . $\frac{7\pi }{36}$ = $\frac{35\pi }{9}$ (cm).

d) Ta có: 315° = 315 . $\frac{\pi }{180}$ = $\frac{7\pi }{4}$.  

Độ dài của cung tròn có số đo 315° trên đường tròn có bán kính R = 20 cm là

l₄ = 20 . $\frac{7\pi }{4}$ = 35π (cm).

Bài 1.3 trang 16 Toán 11 Tập 1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{2\pi }{3}$;

b) $-\frac{11\pi }{4}$;

c) 150°;

d) – 225°.

Lời giải:

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{2\pi }{3}$ được xác định trong hình sau:

b) Ta có: $-\frac{11\pi }{4}=-\left(\frac{3\pi }{4}+2\pi \right)$.

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{11\pi }{4}$ được xác định trong hình sau:

c) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150° được xác định trong hình sau:

d) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng – 225° được xác định trong hình sau:

Bài 1.4 trang 16 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) cos α = $\frac{1}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$;

b) sin α = $\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

c) tan α = $\sqrt{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$;

d) cot α = $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$. 

Lời giải:

a) Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên sin α > 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$.

b) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ sin² α + cos² α = 1 suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

c) Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên cos α < 0. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra

$\cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cot \alpha =\sqrt{5}.\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)=-\frac{\sqrt{30}}{6}$.

d) Ta có: $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}$.

Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên cos α > 0. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra

$\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha .\cot \alpha =-\sqrt{2}.\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Bài 1.5 trang 16 Toán 11 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức:

a) cos⁴ α – sin⁴ α = 2cos² α – 1;

b) $\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha$.

Lời giải:

a) Áp dụng sin² α + cos² α = 1, suy ra sin² α = 1 – cos² α.

Ta có: VT = cos⁴ α – sin⁴ α = (cos² α)² – (sin² α)²

= (cos² α + sin² α)(cos² α – sin² α)

= 1 . (cos² α – sin² α)

= cos² α – (1 – cos² α)

= 2cos² α – 1 = VP (đpcm).

b) Áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.

Ta có: $VT=\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }$$=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\tan }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }-\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

$={\cot }^2\alpha +\frac{\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{{\sin }^2\alpha }-\left(1+{\cot }^2\alpha \right)$$={\cot }^2\alpha +\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1-{\cot }^2\alpha$

$=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1=\left(1+{\tan }^2\alpha \right)-1={\tan }^2\alpha =VP$ (đpcm).

Bài 1.6 trang 16 Toán 11 Tập 1: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm.

Lời giải:

a) Trong 1 giây, bánh xe đạp quay được $\frac{11}{5}$ vòng.

Vì một vòng ứng với góc bằng 360° nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là $\frac{11}{5}\cdot 360=792°$.

Vì một vòng ứng với góc bằng 2π nên góc mà bánh quay xe quay được trong 1 giây là $\frac{11}{5}\cdot 2\pi =\frac{22\pi }{5}$(rad).

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 1 phút bánh xe quay được $60\cdot \frac{11}{5}=132$ vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là: C = 680π (mm).

Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là

680π.132 = 89 760π (mm) = 89,76π (m).