Giải các phương trình sau tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình thường gặp

Video Giải Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;

b) $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$.

Lời giải:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

Điều kiện: $\begin{array}{l}\cos (2x+1)\ne 0\\ \cos (3x-1)\ne 0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x+1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ 3x-1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$

 $\iff \begin{array}{l}2x\ne \frac{\pi }{2}-1+k\pi \\ 3x\ne \frac{\pi }{2}+1+k\pi \end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}+\frac{k\pi }{2}\\ x\ne \frac{\pi }{6}+\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1

$\iff \tan (2x+1)=\frac{1}{\tan (3x-1)}$

$\iff \tan (2x+1)=\cot (3x-1)$

$\iff \tan (2x+1)=\tan \left(\frac{\pi }{2}-3x+1\right)$

$\iff 2x+1=\frac{\pi }{2}-3x+1+k\pi$

$\iff 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5},(k\in \mathbb{Z})\left(tm\right)$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5}(k\in \mathbb{Z})$.

b) $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

Điều kiện: $\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x+\frac{\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}$ $\iff \begin{array}{l}x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Ta có: $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff \tan x+\frac{\tan x+\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan x\tan \frac{\pi }{4}}=1$

$\iff \tan x+\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=1$

$\iff tanx–ta{n}^{2}x+tanx+1=1-tanx$

$\iff ta{n}^{2}x-3tanx=0$

$\iff tanx\left(tanx–3\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}\tan x=0\\ \tan x=3\end{array}$

 $\iff \begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\arctan 3+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ (Thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là $x=k\pi$;   $x=\arctan 3+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$