Giải các phương trình sau 2(sinx)^2 + sinxcosx − 3(cosx)^2 = 0

Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình thường gặp

Video Giải Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) 2sin²x + sinxcosx − 3cos² x = 0;

b) 3sin²x − 4sinxcosx + 5cos²x = 2;

c) $si{n}^{2}x+sin2x-2co{s}^{2}x=\frac{1}{2}$;

d) $2{\cos }^{2}x-3\sqrt{3}\sin 2x-4{\sin }^{2}x=-4$.

Lời giải:

a) 2sin²x + sinxcosx − 3cos² x = 0

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff {\sin }^{2}x=1$

Khi đó ta có 2.1 + 0 – 0 = 0 (vô lý)

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

$\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+\frac{\sin x}{\cos x}-3=0\iff 2{\tan }^{2}x+\tan x-3=0$

Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: $2t^2+t-3=0\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=-\frac{3}{2}\end{array}$

Với t = 1 $\Rightarrow \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ (Thỏa mãn)

Với $t=-\frac{3}{2}\Rightarrow \tan x=-\frac{3}{2}$ $\iff x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$  (Thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$; $x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

b) 3sin²x − 4sinxcosx + 5cos²x = 2

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff {\sin }^{2}x=1$

Khi đó ta có 3.1 + 0 – 0 = 2 (vô lý)

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

$3\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-4\frac{\sin x}{\cos x}+5=\frac{2}{{\cos }^{2}x}$

$\iff 3{\tan }^{2}x-4\tan x+5=2\left({\tan }^{2}x+1\right)$

$\iff {\tan }^{2}x-4\tan x+3=0$

Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: $t^2-4t+3=0\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=3\end{array}$

Với t = 1 $\Rightarrow \tan x=1$ $\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})\left(tm\right)$

Với t = 3 $\Rightarrow \tan x=3$ $\iff x=\arctan 3+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})\left(tm\right)$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$; $x=\arctan 3+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.

c)  $si{n}^{2}x+sin2x-2co{s}^{2}x=\frac{1}{2}$

$\iff {\sin }^{2}x+2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=\frac{1}{2}$

$\iff 2{\sin }^{2}x+4\sin x\cos x-4{\cos }^{2}x=1$

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff {\sin }^{2}x=1$

Khi đó ta có: 2 + 0 – 0 = 1 (vô nghiệm)

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

$2\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+4\frac{\sin x}{\cos x}-4=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

$\iff 2{\tan }^{2}x+4\tan x-4={\tan }^{2}x+1$

$\iff {\tan }^{2}x+4\tan x-5=0$

Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: $t^2+4t-5=0\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=-5\end{array}$

Với t = 1 

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$;  $x=\arctan (-5)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Trường hợp 1: $\cos x=0\iff {\sin }^{2}x=1$

Khi đó ta  0 + 0 - 4 = - 4 (Luôn đúng)

$\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$

Chia cả hai vế của phương trình cho  ta được:

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$; $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$.