Giải các phương trình sau cosx

Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình thường gặp

Video Giải Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) $\cos x-\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{2}$;

b) 3sin3x − 4cos3x = 5 ;

c) $2sinx+2cosx-\sqrt{2}=0$;

d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0.

Lời giải:

a) $\cos x-\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{2}$

$\iff \frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \cos x\cos \frac{\pi }{3}-\sin x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{4}$

$\iff \begin{array}{l}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$; $x=-\frac{7\pi }{12}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

b) 3sin3x − 4cos3x = 5

$\iff \frac{3}{5}\sin 3x-\frac{4}{5}\cos 3x=1$

Đặt $\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{3}{5}\\ \cos \alpha =\frac{4}{5}\end{array}$ , phương trình trở thành:

$\sin 3x\sin \alpha –\cos 3x\cos \alpha =1$

$\iff \cos 3x\cos \alpha -\sin 3x\sin \alpha =-1$

$\iff cos(3x+\alpha )=–1$

$\iff 3x+\alpha =\pi +k2\pi$

$\iff 3x=\pi -\alpha +k2\pi$

$\iff x=\frac{\pi -\alpha }{3}+\frac{k2\pi }{3}\text{ (k}\in \mathbb{Z}\text{)}$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi -\alpha }{3}+\frac{k2\pi }{3}\text{ (k}\in \mathbb{Z}\text{)}$ với ( $\sin \alpha =\frac{3}{5},\cos \alpha =\frac{4}{5}$).

c)  $2sinx+2cosx-\sqrt{2}=0$

$\iff 2sinx+2cosx=\sqrt{2}$

$\iff \frac{2}{2\sqrt{2}}\sin x+\frac{2}{2\sqrt{2}}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

$\iff \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\frac{1}{2}$

$\iff \sin x\sin \frac{\pi }{4}+\cos x\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}$

$\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff \begin{array}{l}x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$ $\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi$  hoặc  $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0

$\iff \frac{5}{13}\cos 2x+\frac{12}{13}\sin 2x=1$

Đặt $\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{12}{13}\\ \cos \alpha =\frac{5}{13}\end{array}$, khi đó phương trình trở thành:

$cos2xcos\alpha +sin2xsin\alpha =1$

$\iff cos\left(2x–\alpha \right)=1$

$\iff 2x-\alpha =k2\pi$

$\iff x=\frac{\alpha }{2}+k\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z}\text{)}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\alpha }{2}+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$ với $\sin \alpha =\frac{12}{13};\cos \alpha =\frac{5}{13}$ .