Giải các phương trình sau [ sin (x/2)]^2 - 2 cos(x/2) +2 = 0

Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình thường gặp

Video Giải Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số

Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a)  ${\sin }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0$;

b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0;

c) 2tan²x + 3tanx +1 = 0;

d) tanx – 2cotx + 1 = 0.

Lời giải:

a)  ${\sin }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0$

Ta có: ${\sin }^2\frac{x}{2}=1-{\cos }^2\frac{x}{2}$

Phương trình tương đương với:

$1-{\cos }^2\frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}+2=0(*)$

$\iff {\cos }^2\frac{x}{2}+2\cos \frac{x}{2}-3=0$

Đặt  $\cos \frac{x}{2}=t\text{ (-1}\le t\le \text{1)}$

Phương trình trở thành:

t² +2t - 3 = 0

$\iff \begin{array}{l}t=1\left(TM\right)\\ t=-3\text{ (L)}\end{array}$

Với t = 1 $\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=1$ $\iff \frac{x}{2}=k2\pi$ $\iff x=k4\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z})$ 

Vậy nghiệm của phương trình là $x=k4\pi \text{ (k}\in \mathbb{Z})$.

b) 8cos²x + 2sinx – 7 = 0

Ta có: cos²x = 1 – sin²x

Phương trình tương đương với:

8(1 – sin²x) + 2sinx – 7 = 0

$\iff 8si{n}^{2}x–2sinx–1=0$

Đặt sinx = t,  $(-1\le t\le 1)$

Phương trình trở thành: 8t² – 2t – 1 = 0

$\iff \begin{array}{l}t=\frac{1}{2}\left(TM\right)\\ t=\frac{-1}{4}\left(TM\right)\end{array}$

Với  $t=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}$ $\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Với  $t=\frac{-1}{4}\Rightarrow \sin x=\frac{-1}{4}$ $\iff \begin{array}{l}x=\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là

$x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;x=\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi ;x=\pi -\arcsin \frac{-1}{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

c) 2tan²x + 3tanx +1 = 0

Điều kiện: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Đặt tanx = t, phương trình trở thành:

2t² + 3t +1 = 0

$\iff \begin{array}{l}t=-1\\ t=\frac{-1}{2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}\tan x=-1\\ \tan x=\frac{-1}{2}\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{-\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(\frac{-1}{2}\right)+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\frac{-\pi }{4}+k\pi ;x=\arctan \left(\frac{-1}{2}\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) tanx – 2cotx + 1 = 0

Điều kiện:  $\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\iff x\ne \frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Ta có: tanx – 2cotx + 1 = 0

$\iff \tan x-\frac{2}{\tan x}+1=0$

$\Rightarrow ta{n}^{2}x+tanx–2=0$

Đặt tanx = t, phương trình trở thành:

t² + t – 2 = 0  $\iff \begin{array}{l}t=1\\ t=-2\end{array}$ $\iff \begin{array}{l}\tan x=1\\ \tan x=-2\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan (-2)+k\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})$ (Thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $x=\arctan (-2)+k\pi ,(k\in \mathbb{Z})$