Bài 9.31 trang 98 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 9 trang 97

Bài 9.31 trang 98 Toán 11 Tập 2:Đồ thị của hàm số y = $\frac{a}{x}$ (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.

Lời giải:

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{-a}{x^2}$ .

Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ x₀ (x₀ ≠ 0) là

$y-\frac{a}{x_0}=\frac{-a}{{x_0}^2}\left(x-x_0\right)hayy=\frac{-a}{{x_0}^2}x+\frac{2a}{x_0}$.

Giả sử phương trình tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B.

Khi đó, $A\left(0;\frac{2a}{x_0}\right),B\left(2x_0;0\right)$ .

Do đó diện tích tam giác OAB bằng: $\frac{1}{2}$OA.OB = $\frac{1}{2}$ = 2a không đổi (do a là hằng số dương).

Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.