Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q

Bài 1.44 trang 44 Toán 12 Tập 1:Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}$.

a)Viết công thức tính $q=g\left(p\right)$ như một hàm số của biến $p\in \left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tính các giới hạn $\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(p\right),\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.Lập bảng biến thiên của hàm số $q=g\left(p\right)$ trên khoảng $\left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}\Rightarrow q=\frac{pf}{p-f}$. Do đó, $q=g\left(p\right)=\frac{pf}{p-f}$ với $p\in \left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

b)$\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(p\right)=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{pf}{p-f}=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f}{1-\frac{f}{p}}=f,\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)=\underset{p\to f^{+}}{lim}\frac{pf}{p-f}=+\mathrm{\infty }$

Ý nghĩa của $\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{lim}g\left(p\right)=f$: Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.

Ý nghĩa của $\underset{p\to f^{+}}{lim}g\left(p\right)=+\mathrm{\infty }$: Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiêu cự f thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.

c) Ta có: $q^{\prime }=g^{\prime }\left(p\right)=\frac{-f^2}{{\left(p-f\right)}^2}<0\mathrm{\forall }p\in \left(f;+\mathrm{\infty }\right)$ nên hàm số nghịch biến trên $\left(f;+\mathrm{\infty }\right)$.

Bảng biến thiên: