Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) y = 3x-2/x+1; b) x^2+2x-1/2x-1

Bài 1.42 trang 44 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=-\mathrm{\infty }$; $\underset{x\to -1^{-}}{lim}y=\underset{x\to -1^{-}}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=+\mathrm{\infty }$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ là đường thẳng $x=-1$

Ta có: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x-2}{x+1}=3$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ đường thẳng $y=3$.

b) Ta có: $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}y=\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{+}}{lim}\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\mathrm{\infty }$; $\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}y=\underset{x\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-}}{lim}\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\mathrm{\infty }$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$ là đường thẳng $x=\frac{1}{2}$.

Ta có: $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}+\frac{1}{4\left(2x-1\right)}$

Do đó, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{4\left(2x-1\right)}=0$, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(\frac{x}{2}+\frac{5}{4}\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{4\left(2x-1\right)}=0$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$ là đường thẳng $y=\frac{x}{2}+\frac{5}{4}$

Ta có: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=-\mathrm{\infty }$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+2x-1}{2x-1}=+\mathrm{\infty }$ nên đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{2x-1}$không có tiệm cận ngang.