Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 6 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol ;

a) Tại điểm $\left(\frac{1}{2};2\right)$;

b) Tại điểm có hoành độ bằng –1;

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\frac{1}{4}$.

Lời giải:

a) Xét giới hạn:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x.x_0-x}{\left.x-x_0\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-1}{x.x_0}=-\frac{1}{x_0^2}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-\frac{1}{x_0^2}$

Ta có: <$y^{\text{'}}\left(\frac{1}{2}\right)=-4.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm $\left(\frac{1}{2};2\right)$là

$y=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)+2=-4x+4.$

b) Ta có: y′(–1) = –1

y(–1) = –1

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng –1 là:y = – (x + 1) – 1 = –x – 2.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm.

Ta có:$y^{\text{'}}\left(x_0\right)=-\frac{1}{4}\iff -\frac{1}{x_0^2}=-\frac{1}{4}\iff x_0^2=4\iff x_0=\pm 2$

Với x₀ = 2 ta có $y\left(2\right)=\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là $y\left(2\right)=\frac{1}{2}y=-\frac{1}{4}(x-2)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+1$

Với x₀ = –2 ta có $y(-2)=-\frac{1}{2}$, phương trình tiếp tuyến là:

$y=-\frac{1}{4}(x+2)-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x-1.$