Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của các hàm số

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hoạt động 6 trang 153 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) f(x) = x² tại điểm x bất kì;

b)$g\left(x\right)=\frac{1}{x}$tại điểm bất kì $x\ne 0$.

Lời giải:

a) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ bất kỳ. Ta có:

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$

$={\left(x_0+\Delta x\right)}^2-x_0^2=2x_0\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x_0\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2}{\Delta x}=2x_0+\Delta x$

$\Rightarrow y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2x_0+\Delta x\right)=2x_0$

b) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ bất kỳ. Ta có:

$\Delta y=g\left(x_0+\Delta x\right)-g\left(x_0\right)$

$=\frac{1}{x_0+\Delta x}-\frac{1}{x_0}=\frac{-\Delta x}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}:\Delta x=\frac{-1}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}$

$y\text{'}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\frac{-1}{x_0\left(x_0+\Delta x\right)}\right)=\frac{-1}{x_0^2}$