Tính Δy và Δy/Δx của các hàm số sau theo x và Δx

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 2 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính $\Delta y$và $\frac{\Delta y}{\Delta x}$của các hàm số sau theo x và $\Delta x$.

a) y = 2x – 5;

b) y = x² – 1;

c) y = 2x³;

d) $y=\frac{1}{x}$.

Lời giải:

a) $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)=\left.2\left(x+\Delta x\right)-5\right]-\left(2x-5\right)$

$=2x+2\Delta x-5-2x+5=2\Delta x$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2$

b) $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)={\left(x+\Delta x\right)}^2-1-\left(x^2-1\right)$

$=x^2+2x\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2-1-x^2+1$

$=2x\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2=\Delta x\left(2x+\Delta x\right)$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left(2x+\Delta x\right)}{\Delta x}=2x+\Delta x$

c) $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)$

$=2{\left(x+\Delta x\right)}^3-2x^3$

$=2\left.x^3+3x^2\Delta x+3x{\left(\Delta x\right)}^2+{\left(\Delta x\right)}^3\right]-2x^3$

$=2x^3+6x^2\Delta x+6x{\left(\Delta x\right)}^2+2{\left(\Delta x\right)}^3-2x^3$

$=6x^2\Delta x+6x{\left(\Delta x\right)}^2+2{\left(\Delta x\right)}^3$

$=\Delta x\left.6x^2+6x\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2\right]$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left.6x^2+6x\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2\right]}{\Delta x}=6x^2+6x\Delta x+2{\left(\Delta x\right)}^2$

d)

$\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}=\frac{x-x-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)}=\frac{-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)}:\Delta x=\frac{-\Delta x}{x\left(x+\Delta x\right)}.\frac{1}{\Delta x}=\frac{-1}{x\left(x+\Delta x\right)}$