Vẽ đồ thị của hàm số Tính f′(1)

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Hoạt động 3 trang 150 SGK Toán lớp 11 Đại số:

b) Tính f′(1).

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$ và có hệ số góc bằng f′(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

a)

b) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ = 1. Ta có:

$\Delta y=f(1+\Delta x)-f\left(1\right)=\frac{{(1+\Delta x)}^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{{\left(\Delta x\right)}^2+2\Delta x}{2}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{\left(\Delta x\right)}^2+2\Delta x}{2\Delta x}=\frac{\Delta x+2}{2}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(1\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x+2}{2}=\frac{2}{2}=1$

c) Đường thẳng có hệ số góc bằng f′(1) =1  có dạng:y = 1.x + a hay y = x + a

Mà đường thẳng đó đi qua điểm $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$nên có: $\frac{1}{2}=1+a$

$\Rightarrow a=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$

Đường thẳng đi qua M và có hệ số góc bằng 1 là:$y=x–\frac{1}{2}$

Ta có đồ thị như trên. Đường thẳng $y=x–\frac{1}{2}$tiếp xúc với đồ thị hàm số f(x) tại M.