Chứng minh rằng hàm số sau không có đạo hàm tại điểm x = 0

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 4 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số:

$f\left(x\right)=\begin{array}{l}{\left(x-1\right)}^2\text{ neu x}\ge 0\\ -x^2\text{ neu }x<0\end{array}$

không có đạo hàm tại điểm x = 0 nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2.

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{(x-1)}^2={(0-1)}^2=1$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(-x^2\right)=-0^2=0$

$\Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Do đó hàm số y = f(x) gián đoạn tại x = 0.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{(x-1)}^2-1}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-2x}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x(x-2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }x=2$

Vậy hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 và f′(2) = 2.