Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x3

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 5 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số:

a) Tại điểm (–1; –1).

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

Lời giải:

a) Ta có:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x.x_0+x_0^2\right)=x_0^2+x_0.x_0+x_0^2=3x_0^2$

$\Rightarrow y^{\text{'}}\left(x_0\right)=3x_0^2$

Ta có: y′(–1) = 3

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (–1; –1) là: y = 3(x + 1) – 1 = 3x + 2

b) Ta có:

y′(2) = 3.2² = 12

y(2) = 2³ = 8

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

c) Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm. Ta có:

y′(x₀) = 3 $\iff$3x₀² = 3 $\iff$x₀² = 1 $\iff x_0=\pm 1$

Với x₀ = 1 ta có y(1) = 1, phương trình tiếp tuyến là: y = 3(x − 1) + 1 = 3x – 2

Với x₀ = −1 ta có y(−1) = −1, phương trình tiếp tuyến là: y = 3(x + 1) – 1 = 3x + 2

*Phương pháp giải:

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn

- Cho đường tròn (C):${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$hoặc$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm$M(x_0;y_0)$thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$thì phương trình tiếp tuyến là:$x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$thì phương trình tiếp tuyến là:$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

*Lý thuyết:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểmđó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

- Từ một điểm trên đường tròn ta có duy nhất một tiếp tuyến đi qua điểm đó. Từ một điểm ngoài đường tròn, ta có hai tiếp tuyến với đường tròn đi qua điểm đó.

II. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn

- Cho đường tròn (C):${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$hoặc$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm$M(x_0;y_0)$thuộc đường tròn (C).

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$thì phương trình tiếp tuyến là:$x{x}_0+y{y}_0-a(x+x_0)-b(y+y_0)+c=0$.

+ Nếu phương trình đường tròn có dạng${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$thì phương trình tiếp tuyến là:$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=R^2$

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm ngoài đường tròn

- Cho đường tròn (C):${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=R^2$hoặc$x^2+y^2-2ax-2by+c=0$. Điểm$N(x_0;y_0)$nằm ngoài đường tròn (C).

+ Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm N:

$y-y_0=m(x-x_0)\iff mx-y-m{x}_0+y_0=0$(1)

+ Có$d(I,d)=R$ta tính được m thay m vào phương trình (1) ta được phương trình tiếp tuyến. Ta luôn tìm được hai đường tiếp tuyến.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến song song với phương cho sẵn có hệ số góc k

Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = kx + m (m chưa biết)

kx - y + m = 0

Cho khoảng cách từ tâm I đến (d) = R ta tìm được m

Ta luôn tìm được 2 tiếp tuyến