Tính bằng định nghĩa đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Bài tập 3 trang 156 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) y = x² + x tại x₀ = 1;

b)$y=\frac{1}{x}$tại x₀ = 2;

c) <![if !vml]><![endif]>tại x₀ = 0.

Lời giải:

a) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ = 1. Ta có:

$\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)$

$={\left(1+\Delta x\right)}^2+\left(1+\Delta x\right)-1^2-1$

$=1+2\Delta x+{\left(\Delta x\right)}^2+1+\Delta x-2$

$=\Delta x\left(\Delta x+3\right)$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x\left(\Delta x+3\right)}{\Delta x}=\Delta x+3$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x+3=3$

Vậy f′(1) = 3

Cách khác:

f(x) = x² + x $\Rightarrow$f(1) = 2

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+2\right)$= 1 + 2 = 3

Vậy f′(1) = 3

b) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ = 2. Ta có:

$\Delta y=f(2+\Delta x)-f\left(2\right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{2-2-\Delta x}{2(2+\Delta x)}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2(2+\Delta x)}$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\frac{-1}{2(2+\Delta x)}\right)=\frac{-1}{2.2}=-\frac{1}{4}$

Vậy $f^{\text{'}}\left(2\right)=-\frac{1}{4}$.

Cách khác:

$f\left(x\right)=\frac{1}{x}\Rightarrow f\left(2\right)=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{2-x}{2x}}{-(2-x)}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-\frac{1}{2x}\right)=-\frac{1}{2.2}=-\frac{1}{4}$

Vậy $f^{\text{'}}\left(2\right)=-\frac{1}{4}$

c) Giả sử $\Delta x$là số gia của đối số tại x₀ = 0. Ta có:

$\Delta y=f\left(\Delta x\right)-f\left(0\right)$

$=\frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}-\frac{0+1}{0-1}$

$=\frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}+1$

$=\frac{\Delta x+1+\Delta x-1}{\Delta x-1}$

$=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{\Delta x-1}$

$\Rightarrow \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\frac{2}{\Delta x-1}\right)=\frac{2}{-1}=-2$

Vậy f′(0) = –2.

Cách khác:

$f\left(x\right)=\frac{x+1}{x-1}\Rightarrow f\left(0\right)=-1$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x+1}{x-1}+1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x+1+x-1}{x-1}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{2x}{x-1}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{x-1}=\frac{2}{0-1}=-2$

Vậy f′(0) = –2.