Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 6 trang 94 SBT Toán 11 Tập 1: Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích $\frac{1}{4}$).

Bước 2: Làm tương tự như Bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích $\frac{1}{4^2}$).

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi 3^n‒1 tam giác, mỗi tam giác diện tích $\frac{1}{4^n}$). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Lời giải:

Ta có:

$S=\frac{1}{4}+3\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2+3^2\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3+\dots +3^n\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^{n+1}+\dots$

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2+\dots +\frac{1}{4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n+\dots$

Đây là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{4},$ công bội $q=\frac{3}{4}$ thỏa mãn |q| < 1 nên $S=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{3}{4}}=1$.