Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x^2; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Bài 10 trang 95 SBT Toán 11 Tập 1: Cho điểm M thay đổi trên parabol y = x²; H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành. Gọi x là hoành độ của điểm H.

Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\mathrm{OM}-\mathrm{MH}\right).$

Lời giải:

Ta có $M\left(x;x^2\right);\mathrm{OM}=\sqrt{x^2+x^4};\mathrm{MH}=\left.x^2\right|=x^2$.

Khi đó $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\mathrm{OM}-\mathrm{MH}\right)=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{x^2+x^4}-x^2\right)$

$=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{\left(\sqrt{x^2+x^4}-x^2\right)\left(\sqrt{x^2+x^4}+x^2\right)}{\sqrt{x^2+x^4}+x^2}=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{x^2}{\sqrt{x^2+x^4}+x^2}$

$=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+1}=\frac{1}{2}.$