Biết rằng hàm số f(x)=2-căn(x+1)/x-3 khi x khác 3, f(x)=a khi x=3 liên tục tại điểm x = 3

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 3 trang 91

Câu 13 trang 93 SBT Toán 11 Tập 1: Biết rằng hàm số $f\left(x\right)=\begin{array}{cc}\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}& \text{ khi }x\ne 3\\ a& \text{ khi }x=3\end{array}$ liên tục tại điểm x = 3. Giá trị của a bằng

A. $-\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. ‒2.

D. 3.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $\begin{array}{l}x+1\ge 0\\ x-3\ne 0\end{array}\iff \begin{array}{l}x\ge -1\\ x\ne 3\end{array}.$

Hàm số $f\left(x\right)=\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}$ có tập xác định D = [–1; 3) ∪ (3; +∞).

Hàm số $y=2-\sqrt{x+1}$ và hàm số y = x – 3 đều liên tục trên các khoảng [–1; 3) và (3; +∞) nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}$ liên tục trên các khoảng [–1; 3) và (3; +∞).

Do đó, để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$ hay $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2-\sqrt{x+1}}{x-3}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(2-\sqrt{x+1}\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}{\left(x-3\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\left(x-3\right)\left(2+\sqrt{x+1}\right)}=a$

$\iff \underset{x\to 3}{\lim }\frac{-1}{2+\sqrt{x+1}}=a$

$\iff \frac{-1}{2+\sqrt{3+1}}=a\iff a=\frac{-1}{4}.$