Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là: y=log (căn3 /2) của x

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 39 trang 44 SBT Toán 11 Tập 2: Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên tập xác định của nó là:

A. $y={\log }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}x.$

B. y = log_0,5 x;

C. y = – logx;

D. y = lnx.

Đáp án đúng là: D

* Lời giải:

Cả 4 đáp án đều có tập xác định: D = (0; +∞).

Do e > 1 nên hàm số y = lnx đồng biến trên D = (0; +∞) hay hàm số y = lnx đồng biến trên tập xác định của nó.

* Phương pháp giải:

- Hàm số log cơ số a > 1 thì đồng biến; < 1 là nghịch biến

+ Nên đáp án A, B đều < 1 nên sẽ nghịch biến

+ Đáp án C là giá trị âm nên không thể đồng biến

* Lý thuyết

HÀM SỐ LOGARIT:

Định nghĩa logarit

Cho hai số dương a; b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức aα = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là logab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b$

– Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0.

Tính chất của logarit

Cho hai số dương a và b; a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây:

loga1 = 0; logaa = 1

$a^{{\log }_{a}b}=b;\log a_{}\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$

Quy tắc tính logarit

Logarit của một tích

– Định lí 1. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a(b_1.b)_2={\log }_a{b}_1+{\log }_{a}b2$

Logarit của một tích bằng tổng các logarit.

– Chú ý:

Định lí 1 có thể mở rộng cho tích n số dương:

Logarit của một thương

– Định lí 2. Cho ba số dương a; b1 ;b2 với a ≠ 1. Ta có:

${\log }_a\frac{b_1}{b_2}={\log }_a{b}_1-{\log }_{a}b2$

Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.

Đặc biệt: ${\log }_a\frac{1}{b}=-{\log }_{a}b$( a > 0; b > 0; a ≠ 1)

Logarit của một lũy thừa

– Định lí 3. Cho hai số dương a; b và a ≠ 1 . Với mọi số α, ta có:

${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$

Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.

– Đặc biệt: ${\log }_a\sqrt[n]{b}=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

Đổi cơ số logarit

– Định lí 4. Cho ba số dương a; b; c với a ≠ 1; c ≠ 1, ta có:

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

– Đặc biệt:

$\begin{array}{l}{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}(\text{}b\ne 1)\\ {\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b(\alpha \ne 0)\end{array}$

Logarit thập phân. Logarit tự nhiên

Logarit thập phân

Logarit thập phân là logarit cơ số 10.

log10b thường được viết là logb hoặc lgb.

Logarit tự nhiên

– Logarit tự nhiên là logarit cơ số e. Logeb được viết là lnb.

HÀM SỐ MŨ:y = ax, (a > 0, a ≠ 1)

Tập xác định:D = R

Tập giá trị:T = (); +∝), nghĩa là khi giải phương trình mũ mà đặt t = af(x)thì t > 0

Tính đơn điệu:

+ Khi a > 1 thì hàm số y = axđồng biến, khi đó ta luôn có: af(x)> ag(x)⇔ f(x) > g(x).

+ Khi 0 < a < 1 thì hàm số y = axnghịch biến, khi đó ta luôn có: af(x)> ag(x)⇔ f(x) < g(x).

Đạo hàm:

(ax)' = ax.ln a ⇒ (au)' = u'.au.ln a

(ex)' = ex ⇒ (eu)' = eu.u'

Đồ thị:Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang.