Sách bài tập Toán 11 Bài 3 (Cánh diều): Hàm số liên tục

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 26 trang 80 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$ .

B. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$ .

C. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$ .

D. Hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết ta có, hàm số y = f(x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$ .

Bài 27 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) trong Hình 7. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1.

B. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 3.

C. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 5.

D. Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 0.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Quan sát Hình 7, ta thấy

- Hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1, x = 3 và x = 5 vì không tồn tại giá trị của f(x) khi x = 1, x = 3 và x = 5.

- Hàm số y = f(x) liên tục tại x = 0 nên đáp án D sai.

Bài 28 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1: Quan sát đồ thị hàm số trong Hình 8 và cho biết hàm số đó có liên tục:

a) Tại x = $\frac{5}{3}$ hay không.

b) Trên khoảng (− ∞; 0) hay không.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị, ta có:

a) Hàm số không liên tục tại x = $\frac{5}{3}$ vì giá trị hàm số không xác định tại x = $\frac{5}{3}$.

b) Hàm số liên tục trên khoảng(− ∞; 0).

Bài 29 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=-x^2+\cos x$ ;

b) $g\left(x\right)=3x^3+2-\frac{3}{x+2}$ ;

c) $h\left(x\right)=\frac{2x+5}{x+2}+\frac{3x-1}{2x-4}$ .

Lời giải:

a) Vì hai hàm số y = – x² và y = cos x đều liên tục trên tập xác định của chúng là ℝ nên hàm số $f\left(x\right)=-x^2+\cos x$ liên tục trên ℝ.

b) Vì hàm số y = 3x³ + 2 liên tục trên ℝ, hàm số $y=\frac{3}{x+2}$ liên tục trên hai khoảng (−∞; – 2) và (– 2; +∞) nên hàm số $g\left(x\right)=3x^3+2-\frac{3}{x+2}$liên tục trên hai khoảng (–∞; – 2) và (− 2; +∞).

c) Vì hàm số $y=\frac{2x+5}{x+2}$ liên tục trên hai khoảng (–∞; – 2) và (− 2; +∞), hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-4}$ liên tục trên hai khoảng (−∞; 2) và (2; +∞) nên hàm số $h\left(x\right)=\frac{2x+5}{x+2}+\frac{3x-1}{2x-4}$ liên tục trên các khoảng (–∞; – 2), (–2; 2), (2; +∞).

Bài 30 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số

a) Với a = 2, xét tính liên tục của hàm số tại x = 1.

b) Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.

Lời giải:

a) Với a = 2, ta có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2-x\right)=0$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=3$.

Do đó, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x = 1 khi a = 2.

b) Với x < 1 thì f(x) = x + a liên tục trên (−∞; 1).

Với x > 1 thì f(x) = x² – x liên tục trên (1; +∞).

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 1.

Khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)=0$.

Như vậy, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+a\right)=1+a=0\Rightarrow a=-1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi a = −1.

Bài 31 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1: Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có khối lượng đến 250 g như trong bảng sau:

a) Hãy biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản và bưu thiếp.

b) Hàm số trên có liên tục trên tập xác định hay không?

Lời giải:

a) Từ giả thiết, ta có hàm số biểu diễn số tiền phải trả khi sử dụng dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp theo khối lượng của thư cơ bản và bưu thiếp là:

b) Tập xác định của hàm số trên là (0; 250].

Ta có: $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=4000$ , $\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=6000$ .

Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)$ .

Do đó, hàm số không liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số không liên tục trên tập xác định (0; 250].

Lý thuyết Hàm số liên tục

I. Khái niệm

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$, $x_0\in \left(a;b\right)$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$ nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

* Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

III. Một số định lí cơ bản

1. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

- Hàm số đa thức và hàm số $y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

- Các hàm số $y=\tan \mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x},y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f(x)\pm g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0$ nếu $g(x_0)\ne 0$.