Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Giới hạn của dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài 1 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. $\lim \frac{1}{2^n}=0$ .

B. $\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n=0$ .

C. $\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=0$ .

D. $\lim {\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì limqⁿ = 0 với |q| < 1 nên ta có:

$\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ do ;

$\lim \frac{1}{{\left(\sqrt{2}\right)}^n}=\lim {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^n=0$ do ;

$\lim {\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^n=0$ do .

Vậy các đáp án A, C, D đúng.

Vì nên $\lim {\left(\frac{3}{2}\right)}^n\ne 0$ , do đó đáp án B sai.

Bài 2 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho limu_n = a, lim v_n = b. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. lim(u_n + v_n) = a + b.

B. lim(u_n – v_n) = a – b.

C. lim(u_n . v_n) = a . b.

D. $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a-b}{b}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn thì ta thấy đáp án D sai.

Bài 3 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}$ bằng:

A. 0.

B. –∞.

C. +∞.

D. –∞ hoặc +∞.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu limu_n = C và limv_n = +∞ (hoặc limv_n = −∞) thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=0$ .

Bài 4 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là sai?

A. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C > 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$ = +∞.

B. Nếu limu_n = −∞ và limv_­n = C, C < 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$ = +∞.

C. Nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim $\frac{u_n}{v_n}$= 0.

D. Nếu limu_n = –∞ và limv_n = C, C > 0 thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=-\infty$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Theo định lí giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực, nếu limu_n = +∞ và limv_n = C, C < 0 thì lim$\frac{u_n}{v_n}$ = –∞ nên đáp án C sai.

Bài 5 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu limu_n = a thì $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

B. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

C. Nếu limu_n = a thì a ≥ 0.

D. Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, nếu u_n ≥ 0 với mọi n và limu_n = a thì a ≥ 0 và $\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{a}$ .

Bài 6 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ .

Lời giải:

Xét dãy số (u_n) có $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}$.

Giả sử h là số dương bé tùy ý cho trước. Ta có:

Do đó, .

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn $\frac{1}{\sqrt{h}}$ thì |u­_n| < h.

Suy ra $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2}=0$ .

Bài 7 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (u_n), (v_n) với $u_n=3-\frac{4}{n+1}$ , $v_n=8-\frac{5}{3n^2+2}$ . Tính:

a) limu_n, limv_n;

b) lim(u_n + v_n), lim(u_n – v_n), lim(u_n . v_n), $\lim \frac{u_n}{v_n}$ .

Lời giải:

a) Ta có

$\lim u_n=\lim \left(3-\frac{4}{n+1}\right)=\lim 3-\lim \frac{4}{n+1}=3-0=3$;

$\lim v_n=\lim \left(8-\frac{5}{3n^2+2}\right)=\lim 8-\lim \frac{5}{3n^2+2}=8-0=8$.

b) Ta có

lim(u_n + v_n) = limu_n + limv_n = 3 + 8 = 11;

lim(u_n – v_n) = limu_n – limv_n = 3 – 8 = – 5;

lim(u_n . v_n) = limu_n . limv_n = 3 . 8 = 24;

$\lim \frac{u_n}{v_n}$$=\frac{\lim u_n}{\lim v_n}=\frac{3}{8}$.

Bài 8 trang 68 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{4n+2}{3}$ ;

b) $\lim \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}$ ;

c) $\lim \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^n}$ ;

d) $\lim \left(6-\frac{5}{4^n}\right)$ .

Lời giải:

a) Vì lim(4n + 2) = = lim (n . 4) = +∞ và lim3 = 3 > 0.

Do đó, $\lim \frac{4n+2}{3}=+\infty$.

b) Vì lim(3n + 4) = lim (n . 3) = +∞

và $\lim \left(-5+\frac{2}{n}\right)=\lim \left(-5\right)+\lim \frac{2}{n}=-5$ < 0.

Do đó, $\lim \frac{3n+4}{-5+\frac{2}{n}}=-\infty$ .

c) Vì $\lim \left(-3+\frac{1}{n+1}\right)=\lim \left(-3\right)+\lim \frac{1}{n+1}=-3$ và lim5ⁿ = +∞.

Nên $\lim \frac{-3+\frac{1}{n+1}}{5^n}=0$ .

d) $\lim \left(6-\frac{5}{4^n}\right)$$=\lim 6-\lim \frac{5}{4^n}$$=6-\lim \left(5.\frac{1}{4^n}\right)$

$=6-5\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=6-5.0=6$.

Bài 9 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{6n-5}{3n}$ ;

b) $\lim \frac{-2n^2-6n+2}{8n^2-5n+4}$ ;

c) $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}$ ;

d) $\lim \frac{-4n+1}{9n^2-n+2}$ ;

e) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+n+1}}{8n+3}$ ;

g) $\lim \frac{4^n+5^n}{{3.4}^n-{4.5}^n}$ .

Lời giải:

a) $\lim \frac{6n-5}{3n}=\lim \frac{n\left(6-\frac{5}{n}\right)}{3n}$$=\lim \frac{6-\frac{5}{n}}{3}=\frac{\lim \left(6-\frac{5}{n}\right)}{\lim 3}=\frac{6}{3}=2$ .

b) $\lim \frac{-2n^2-6n+2}{8n^2-5n+4}$ $=\lim \frac{n^2\left(-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}$

$=\lim \frac{-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}{8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}}=\frac{\lim \left(-2-\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{\lim \left(8-\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}\right)}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}$.

c) $\lim \frac{n^3-5n+1}{3n^2-4n+2}$$=\lim \frac{n^3\left(1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)}$$=\lim \frac{1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}}$

$=\frac{\lim \left(1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{\lim \left(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)}=+\infty$ (do $\lim \left(1-\frac{5}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)=1$ và $\lim \left(\frac{3}{n}-\frac{4}{n^2}+\frac{2}{n^3}\right)=0$ ).

d) $\lim \frac{-4n+1}{9n^2-n+2}$$=\lim \frac{n^2\left(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}$ $=\lim \frac{\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}$

$=\frac{\lim \left(\frac{-4}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{\lim \left(9-\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}=\frac{0}{9}=0$ .

e) $\lim \frac{\sqrt{4n^2+n+1}}{8n+3}$ $=\lim \frac{\sqrt{n^2\left(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{n\left(8+\frac{3}{n}\right)}$ $=\lim \frac{\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}}{8+\frac{3}{n}}$

$=\frac{\lim \left(\sqrt{4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)}{\lim \left(8+\frac{3}{n}\right)}=\frac{\sqrt{\lim \left(4+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}}{\lim \left(8+\frac{3}{n}\right)}=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

g) $\lim \frac{4^n+5^n}{{3.4}^n-{4.5}^n}$$=\lim \frac{5^n\left(\frac{4^n}{5^n}+1\right)}{5^n\left(\frac{{3.4}^n}{5^n}-4\right)}$$=\lim \frac{{\left(\frac{4}{5}\right)}^n+1}{3.{\left(\frac{4}{5}\right)}^n-4}$

Bài 10 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$ .

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(3) dưới dạng phân số.

Lời giải:

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u­_n) với $u_1=\frac{5}{4},q=-\frac{1}{3}$ là:

$S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{5}{4}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{15}{16}$.

Vậy 2,(3) = 2 + $\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ .

Bài 11 trang 69 SBT Toán 11 Tập 1: Từ độ cao 100 m, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử cứ sau mỗi lần chạm đất, quả bóng nảy lên một độ cao bằng $\frac{1}{4}$ độ cao mà quả bóng đạt được trước đó. Gọi h­_n là độ cao quả bóng đạt được ở lần nảy thứ n.

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (h_n).

b) Tính giới hạn của dãy số (h_n) và nêu ý nghĩa giới hạn của dãy số (h_n).

c) Gọi S_n là tổng độ dài quãng đường đi được của quả bóng từ lúc bắt đầu thả quả bóng đến khi quả bóng chạm đất lần thứ n. Tính S_n, nếu quá trình này cứ tiếp tục diễn ra mãi thì tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo đề bài ta có, $h_n=\frac{1}{4}{h}_{n-1}$ nên (h_n) là một cấp số nhân với h₁ = $\frac{1}{4}.100=25$ và công bội $q=\frac{1}{4}$ .

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (h_n): $h_n=u_1{q}^{n-1}=25.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}=\frac{100}{4^n}$ .

b) Ta có: limh_n = $\lim \frac{100}{4^n}=\lim \left(100.\frac{1}{4^n}\right)=\lim 100.\lim {\left(\frac{1}{4}\right)}^n=100.0=0$ .

Từ giới hạn đó, ta rút ra được ý nghĩa: Khi n càng dần tới vô cực thì độ cao của quả bóng đạt được sau khi nảy ngày càng nhỏ và độ cao đó dần tới 0.

Vậy tổng quãng đường quả bóng di chuyển được là $\frac{500}{3}$ m.

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$ hay $lim{u}_n=0$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$hay $u_n\to a$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$hay $lim{u}_n=a$.

* Chú ý: Nếu $u_n=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

2. Một số giới hạn cơ bản

+ $lim\frac{1}{n}=0,lim\frac{1}{n^k}=0,k\in \mathbb{Z}.$

+ $lim\frac{c}{n}=0,lim\frac{c}{n^k}=0,k\in \mathbb{Z}$, c là hằng số.

+ Nếu $\left|q\right|<1$ thì $lim{q}^n=0$

+ $lim{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ thì

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$

b, Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

*Nhận xét:

• $\begin{array}{l}lim{n}^k=+\mathrm{\infty },k\in {\mathbb{Z}}^{+}\\ lim{q}^n=+\mathrm{\infty };q\in \mathbb{R},q>1.\end{array}$
• Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=-\mathrm{\infty }$) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=0$.
• Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a>0$và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,\mathrm{\forall }n$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.
• Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }\iff \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-u_n)=-\mathrm{\infty }$