Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Bảng tần số ghép nhóm bao gồm giá trị đại diện và tần số tích lũy của mẫu số liệu được cho như sau:

⦁ Số trung bình cộng là:

$\overline{x}=\frac{7\cdot 7,1+6\cdot 7,3+7\cdot 7,5+5\cdot 7,7+3\cdot 7,9}{28}\approx 7,4.$

⦁ Ta có: $\frac{n}{2}=\frac{28}{2}=14,$$\frac{n}{4}=7,$$\frac{3n}{4}=21.$

Vì 13 < 24 < 20 nên nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 14.

Xét nhóm 3 là nhóm [7,4 ; 7,6) có r = 7,4, d = 0,2, n₃ = 7 và nhóm 2 là nhóm [7,2 ; 7,4) có cf₂ = 13. Suy ra trung vị là:

$M_e=7,4+\left(\frac{14-13}{7}\right)\cdot 0,2\approx 7,4.$

Tứ phân vị thứ 2 là: Q₂ = M_e $\approx$7,4.

Vì 0 < 7 ≤ 7 nên nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7.

Xét nhóm 1 là nhóm [7,0; 7,2) có s = 7,0, h = 0,2, n₁ = 7 và cf₀ = 0.

Suy ra tứ phân vị thứ nhất là:

$Q_1=7,0+\left(\frac{7-0}{7}\right)\cdot 0,2\approx 7,2.$

Vì 20 < 21 < 25 nên nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 21. Xét nhóm 4 là nhóm [7,6 ; 7,8) có t = 7,6, l = 0,2, n₄ = 5 và nhóm 3 là nhóm [7,4 ; 7,6) có cf₃ = 20. Suy ra tứ phân vị thứ ba là:

$Q_3=7,6+\left(\frac{21-20}{5}\right)\cdot 0,2\approx 7,6.$

⦁ Ta thấy nhóm 1 và nhóm 3 tương ứng với nửa khoảng [7,0 ; 7,2) và [7,4 ; 7,6) là nhóm có tần số lớn nhất nên ta có hai mốt là:

Nhóm 1 ứng với nửa khoảng [7,0 ; 7,2) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 7,0, g = 0,2, n₁ = 7; n₀ = 0 và nhóm 2 là nhóm [7,2; 7,4) có n₂ = 6. Suy ra mốt thứ nhất là:

$M_O=7,0+\left(\frac{7-0}{2.7-0-6}\right)\cdot 0,2\approx 7,2;$

Nhóm 3 ứng với nửa khoảng [7,4 ; 7,6) là nhóm có tần số lớn nhất với u = 7,4, g = 0,2, n₃ = 7; và nhóm 2 là nhóm [7,2; 7,4) có n₂ = 6 và nhóm 4 là nhóm [7,6; 7,8) có n₄ = 5. Suy ra mốt thứ hai là:

$M_O=7,4+\left(\frac{7-6}{2.7-6-5}\right)\cdot 0,2\approx 7,5.$

Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

1. Mẫu số liệu ghép nhóm

a) Bảng tần số ghép nhóm

- Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.

- Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác định có dạng [a; b), trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. Độ dài nhóm là b – a.

- Tần số của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là n₁, n₂, …, n_m.

- Bảng tần số ghép nhóm được lập như ở bảng 1, trong đó mẫu liệu gồm n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nửa khoảng [a₁; a₂); [a₂; a₃); …;[a_m; a_m+1), ở đó

a₁ < a₂ < … < a_m < a_m+1 và n = n₁ + n₂ + … + n_m.

b) Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện như sau:

- Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước;

- Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là [a_m; a_m+1].

- Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy được lập như ở Bảng 2.

2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

a) Số trung bình cộng

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng 3, trong đó giá trị đại diện của nhóm là trung điểm x_i của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\overline{x}$, được tính theo công thức

b) Trung vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 2.

Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{2}$, tức là $c{f}_{k-1}<\frac{n}{2}$ nhưng $c{f}_k\ge \frac{n}{2}$. Ta gọi r, d, n_k lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k; cf_k-1 là tần số tích lũy của nhóm k – 1.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_e, được tính theo công thức sau:

$M_e=r+\left(\frac{\frac{n}{2}-c{f}_{k-1}}{n_k}\right).d$

Quy ước: cf₀ = 0.

c) Tứ phân vị

Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 2.

- Tứ phân vị thứ hai, kí hiệu Q₂, bằng trung vị M_e.

- Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{n}{4}$, tức là $c{f}_{p-1}<\frac{n}{4}$ nhưng $c{f}_p\ge \frac{n}{4}$. Ta gọi s, h, n_p lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p; cf_p-1 là tần số tích lũy của nhóm p – 1.

Tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu Q₁, được tính bằng công thức sau:

$Q_1=s+\left(\frac{\frac{n}{4}-c{f}_{p-1}}{n_p}\right).h$

- Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\frac{3n}{4}$, tức là $c{f}_{q-1}<\frac{3n}{4}$ nhưng $c{f}_q\ge \frac{3n}{4}$. Ta gọi t, l, n_q lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q; cf_q-1 là tần số tích lũy của nhóm q – 1.

Tứ phân vị thứ ba, kí hiệu Q₃, được tính bằng công thức sau:

$Q_3=t+\left(\frac{\frac{3n}{4}-c{f}_{q-1}}{n_q}\right).l$

d) Mốt

Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 1.

Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g, n_i lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i; n_i-1, n_i-1 lần lượt là tần số của nhóm i – 1, nhóm i + 1.

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M_o, được tính theo công thức sau:

$M_o=u+\left(\frac{n_i-n_{i-1}}{2n_i-n_{i-1}-n_{i+1}}\right).g$

Quy ước: n₀ = 0; n_m+1 = 0.

Sơ đồ tư duy Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm