Sách bài tập Toán 11 Bài 1 (Cánh diều): Dãy số

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 1 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và $u_n=\frac{u_{n-1}+1}{2}$ với mọi n ≥ 2. Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là:

A. 2; 1; $\frac{3}{2}$ .

B. 2; $\frac{3}{2};\frac{5}{2}$ .

C. 2; $\frac{3}{2};\frac{5}{4}$ .

D. 2;$\frac{3}{2}$ ; 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: u₁ = 2; $u_2=\frac{u_1+1}{2}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$ ; $u_3=\frac{u_2+1}{2}=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}$ .

Bài 2 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_n=\frac{2n^2-1}{n^2+2}$ . Số hạng u₁₀ là:

A. $\frac{19}{12}$ .

B. $\frac{33}{34}$ .

C. $\frac{199}{102}$ .

D. $\frac{3}{4}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $u_{10}=\frac{{2.10}^2-1}{{10}^2+2}=\frac{199}{102}$ .

Bài 3 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_n=\frac{n+1}{3n-2}$ . Với $u_k=\frac{8}{19}$ là số hạng của dãy số thì k bằng:

A. 8.

B. 7.

C. 9.

D. 6.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Giả sử $u_k=\frac{8}{19}$ là một số hạng của dãy số (u_n).

Khi đó k ∈ ℕ^* và $u_k=\frac{k+1}{3k-2}=\frac{8}{19}$ , suy ra 19(k + 1) = 8(3k – 2)

⇔ 19k + 19 = 24k – 16

⇔ 24k – 19k = 19 + 16

⇔ 5k = 35

⇔ k = 7 (t/m).

Vậy k = 7.

Bài 4 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = 3ⁿ. Số hạng u_{n + 1} bằng:

A. 3ⁿ . 3.

B. 3ⁿ + 3.

C. 3ⁿ + 1.

D. 3(n + 1).

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có u_{n + 1} = 3^{n + 1} = 3ⁿ . 3¹ = 3ⁿ . 3.

Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số giảm là:

A. $u_n=\frac{3n-1}{n+1}$ .

B. u_n = n³.

C. $u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$ .

D. $u_n=\sqrt{n}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án C, ta có:

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3^{n+1+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}=\frac{1}{3^{n+2}}-\frac{1}{3^{n+1}}$

$=\frac{3^{n+1}-3^{n+2}}{3^{n+1}{.3}^{n+2}}=\frac{{3.3}^n-{9.3}^n}{3^{n+1}{.3}^{n+2}}=\frac{-{6.3}^n}{3^{n+1}{.3}^{n+2}}<0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Suy ra u_{n + 1} – u_n < 0, tức là u_{n + 1} < u_n.

Vậy dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$ là dãy số giảm.

Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u_n = cos n. Dãy số (u_n) là:

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số bị chặn.

D. Dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có – 1 ≤ cos n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, – 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Khi đó dãy số (u­_n) bị chặn trên bởi 1 và bị chặn dưới bởi – 1.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

Bài 7 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u_n), biết u_n = 3n – 1.

Lời giải:

Ta có u₁ = 3 . 1 – 1 = 2; u₂ = 3 . 2 – 1 = 5;

u₃ = 3 . 3 – 1 = 8; u₄ = 3. 4 – 1 = 11;

u₅ = 3 . 5 – 1 = 14; u₆ = 3 . 6 – 1 = 17.

Do đó, u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ + u₆ = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57.

Vậy tổng 6 số hạng đầu của dãy số (u­_n) là 57.

Bài 8 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2 và $u_n=\sqrt{2+u_{n-1}^2}$ với mọi n ≥ 2. Viết năm số hạng đầu của dãy số và dự đoán công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) là: u₁ = 2;

$u_2=\sqrt{2+u_1^2}=\sqrt{2+2^2}=\sqrt{6}$;

$u_3=\sqrt{2+u_2^2}=\sqrt{2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$;

$u_4=\sqrt{2+u_3^2}=\sqrt{2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{10}$;

$u_5=\sqrt{2+u_4^2}=\sqrt{2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

Ta thấy $2=\sqrt{2.\left(1+1\right)}$ ; $\sqrt{6}=\sqrt{2.\left(2+1\right)}$ ; $\sqrt{8}=\sqrt{2.\left(3+1\right)}$ ;

$\sqrt{10}=\sqrt{2.\left(4+1\right)}$; $\sqrt{12}=\sqrt{2.\left(5+1\right)}$ .

Khi đó dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là $u_n=\sqrt{2\left(n+1\right)}$ .

Bài 9 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số $y=\frac{2x-1}{2x^2+1}$ có đồ thị (C). Với mỗi số nguyên dương n, gọi A_n là giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng x = n. Xét dãy số (u_n), biết u_n là tung độ của điểm A_n. Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Với x = n, ta có $y_n=\frac{2n-1}{2n^2+1}$ , suy ra $A_n\left(n;\frac{2n-1}{2n^2+1}\right)$ .

Vì dãy số (u_n) có u_n là tung độ của điểm A_n, do đó $u_n=\frac{2n-1}{2n^2+1}$ .

Vẫy công thức của số hạng tổng quát là $u_n=\frac{2n-1}{2n^2+1}$ .

Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n), biết

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải:

a) Bốn số hạng đầu của dãy số (u_n) là:

Vậy u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

c) Theo câu b) ta có u_{n + 4} = u_n với mọi n ≥ 1.

Do đó, u₁ = u₅ = u₉, u₂ = u₆ = u₁₀, u₃ = u₇ = u₁₁, u₄ = u₈ = u₁₂.

Tổng 12 số hạng đầu của dãy số là:

= $3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}+\frac{-\sqrt{2}}{2}\right)=0$ .

Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 2n + 3;

b) u_n = 3ⁿ – n;

c) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$ ;

d) u_n = sin n.

Lời giải:

a) Ta có u_{n + 1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét u_{n + 1} – u_n = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3 là dãy số tăng.

b) Ta có u_{n + 1} = 3^{n + 1} – (n + 1) = 3 . 3ⁿ – n – 1.

Xét u_{n + 1} – u­_n = (3 . 3ⁿ – n – 1) – (3ⁿ – n) = 3 . 3ⁿ – 3ⁿ – 1 = 2 . 3ⁿ – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u­_n = 3ⁿ – n là dãy số tăng.

c) Ta có u_{n + 1} = $\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}$ = $\frac{\sqrt{n+1}}{{2.2}^n}$ .

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt{n+1}}{{2.2}^n}-\frac{\sqrt{n}}{2^n}=\frac{\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}}{{2.2}^n}$ $=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{4n}}{{2.2}^n}$

$=\frac{n+1-4n}{{2.2}^n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n}\right)}=\frac{-3n+1}{{2.2}^n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n}\right)}<0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

(do – 3n + 1 < 0, 2ⁿ > 0 và với mọi n ∈ ℕ^*).

Do vậy, u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$ là dãy số giảm.

Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_n=\frac{an+2}{n+1}$ với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.

Lời giải:

Ta có $u_{n+1}=\frac{a\left(n+1\right)+2}{n+1+1}=\frac{an+a+2}{n+2}$ .

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{an+a+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{\left(an+a+2\right)\left(n+1\right)-\left(an+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

$=\frac{a{n}^2+an+an+a+2n+2-a{n}^2-2an-2n-4}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$ $=\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$.

Để dãy số (u_n) là dãy số tăng thì u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^* hay u_{n + 1} – u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là $\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Nên $\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$ ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u_n) là dãy số tăng khi a > 2.

Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Dãy số (u_n) với $u_n=\sqrt{n^2+1}$ bị chặn dưới;

b) Dãy số (u­_n) với u_n = – n² – n bị chặn trên;

c) Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Lời giải:

a) Ta có n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, $\sqrt{n^2+1}\ge \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_n=\sqrt{n^2+1}$ bị chặn dưới.

b) Ta có – n² – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với u_n = – n² – n bị chặn trên.

c) Ta có $\frac{2n+1}{n+2}>0$ với mọi n ∈ ℕ^*. Do đó, dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn dưới. (1)

Lại có $\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}<2$ với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$ bị chặn.

Bài 14 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Với mỗi số nguyên dương n, lấy n + 6 điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi u_n là số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số (u_n). Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Lời giải:

Ta thấy đường tròn được chia thành n + 6 cung bằng nhau và mỗi cung có số đo bằng $\left(\frac{360}{n+6}\right)\begin{array}{c}°\end{array}$ . Do mỗi điểm được nối với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn nên góc ở đỉnh của mỗi ngôi sao là góc nội tiếp chắn n + 6 – 2 . 3 = n cung bằng nhau đó. Suy ra số đo góc ở đỉnh tính theo đơn vị độ của mỗi ngôi sao là $u_n=\frac{1}{2}.\frac{360}{n+6}.n=\frac{180n}{n+6}$ .

Lý thuyết Dãy số

I. Khái niệm

• Dãy số hữu hạn

Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_m$ là số hạng cuối cùng của dãy số đó.

• Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u: ${\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ được gọi là một dãy số vô hạn.

Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Cách cho một dãy số

* Một dãy số có thể cho bằng:

Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

Công thức của số hạng tổng quát.

Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.

Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. Dãy số bị chặn

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\mathrm{\exists }$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\mathrm{\exists }$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.