Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết: a) un = 2n + 3; b) un = 3^n – n

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 11 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 2n + 3;

b) u_n = 3ⁿ – n;

c) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$ ;

d) u_n = sin n.

*Phuơng pháp giải:

a) Ta có u_{n + 1} = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5.

Xét u_{n + 1} – u_n = (2n + 5) – (2n + 3) = 2 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u_n = 2n + 3 là dãy số tăng.

b) Ta có u_{n + 1} = 3^{n + 1} – (n + 1) = 3 . 3ⁿ – n – 1.

Xét u_{n + 1} – u­_n = (3 . 3ⁿ – n – 1) – (3ⁿ – n) = 3 . 3ⁿ – 3ⁿ – 1 = 2 . 3ⁿ – 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với u­_n = 3ⁿ – n là dãy số tăng.

c) Ta có u_{n + 1} = $\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}$ = $\frac{\sqrt{n+1}}{{2.2}^n}$ .

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{\sqrt{n+1}}{{2.2}^n}-\frac{\sqrt{n}}{2^n}=\frac{\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}}{{2.2}^n}$ $=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{4n}}{{2.2}^n}$

$=\frac{n+1-4n}{{2.2}^n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n}\right)}=\frac{-3n+1}{{2.2}^n\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{4n}\right)}<0$ với mọi n ∈ ℕ^*.

(do – 3n + 1 < 0, 2ⁿ > 0 và với mọi n ∈ ℕ^*).

Do vậy, u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$ là dãy số giảm.

*Lý thuyết:

* Định nghĩa:

+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u_n< u_{n + 1}

+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: u_n> u_n+1

* Để xét tính tăng (giảm) của dãy số ta có 2 cách sau:

+ cách 1: Xét hiệu: u_n+1− u_n

Nếu u_n+1− u_n> 0 thì dãy số tăng.

Nếu u_n+1− u_n< 0 thì dãy số giảm

+ Cách 2. Nếu các số hạng của dãy u_n> 0 với mọi n: Xét thương

Nếu T > 1 thì dãy số tăng.

Nếu T < 1 thì dãy số giảm.