Chứng minh rằng: a) Dãy số (un) với un = căn n^2 + 1 bị chặn dưới

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 13 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) Dãy số (u_n) với $u_n=\sqrt{n^2+1}$  bị chặn dưới;

b) Dãy số (u­_n) với u_n = – n² – n bị chặn trên;  

c) Dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$  bị chặn. 

Lời giải:

a) Ta có n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, $\sqrt{n^2+1}\ge \sqrt{1+1}=\sqrt{2}$  với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) với $u_n=\sqrt{n^2+1}$  bị chặn dưới.

b) Ta có – n² – n ≤ – 2 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với u_n = – n² – n bị chặn trên.

c) Ta có $\frac{2n+1}{n+2}>0$  với mọi n ∈ ℕ^*. Do đó, dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$  bị chặn dưới. (1)

Lại có $\frac{2n+1}{n+2}=\frac{2\left(n+2\right)-3}{n+2}=2-\frac{3}{n+2}<2$  với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$  bị chặn trên. (2)

Từ (1) và (2), suy ra dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$  bị chặn.