Cho dãy số (un) biết un = (an + 2)/(n + 1) với a là số thực. Tìm a để dãy số (un) là dãy số tăng

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số

Bài 12 trang 46 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết $u_n=\frac{an+2}{n+1}$  với a là số thực. Tìm a để dãy số (u_n) là dãy số tăng.  

Lời giải:

Ta có $u_{n+1}=\frac{a\left(n+1\right)+2}{n+1+1}=\frac{an+a+2}{n+2}$ .

Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{an+a+2}{n+2}-\frac{an+2}{n+1}=\frac{\left(an+a+2\right)\left(n+1\right)-\left(an+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

$=\frac{a{n}^2+an+an+a+2n+2-a{n}^2-2an-2n-4}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$ $=\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$.

Để dãy số (u_n) là dãy số tăng thì u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^* hay u_{n + 1} – u_n > 0 với mọi n ∈ ℕ^*, tức là $\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$  với mọi n ∈ ℕ^*.

Mà n + 2 > 0, n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Nên $\frac{a-2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0$  ⇔ a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

Vậy (u_n) là dãy số tăng khi a > 2.