Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết hay nhất - Toán lớp 9

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến hay, chi tiết - Toán lớp 9

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$ .  

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

2. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến

Cách 1: Dựa vào khái nệm

Với x1, x2 bất kì thuộc :

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  thì hàm số y = f(x) đồng biến trên $ℝ$ .

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên $ℝ$ .

Cách 2: Xét dấu của giá trị T

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$  và $x_1,x_2\in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

3. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

a) Khái niệm về hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$ .

b) Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

Ngoài hai cách ta đã nêu ở mục hai đối với hàm số bậc nhất ta còn cách xét hệ số a.

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x $\in ℝ$ .

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$  khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$  khi a < 0.

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 3x + 3

b) y = -2x – 3

Lời giải:

a) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc $ℝ$

Ta có: y = f(x) = 3x + 3

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ $=\frac{\left(3x_2+3\right)-\left(3x_1+3\right)}{x_2-x_1}$ 

$=\frac{3x_2+3-3x_1-3}{x_2-x_1}=\frac{3x_2-3x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{3\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=3>0$

hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Cách 2:

Ta có hàm số y = 3x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$ .

b) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc $ℝ$

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

$f\left(x_1\right)=-2x_1-3$

$f\left(x_2\right)=-2x_2-3$

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}=\frac{\left(-2x_2-3\right)-\left(-2x_1-3\right)}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2x_2-3+2x_1+3}{x_2-x_1}=\frac{-2x_2+2x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=-2<0$

Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên $ℝ$ .

Cách 2:

Hàm số y = -2x – 3 là hàm số bậc nhất có a = -2 < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ$ .

Ví dụ 2: Tìm m để

a) y = (2m + 1)x + 3 đồng biến trên $ℝ$ .

b) y = (-3m – 2) x + 5 nghịch biến trên $ℝ$

Lời giải:

a) Hàm số y = (2m + 1)x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 2m + 1 và b = 3

Để hàm số đồng biến trên $ℝ$ thì a > 0.

$\Rightarrow$2m + 1 > 0

$\iff 2m>-1$

$\iff m>\frac{-1}{2}$

Vậy $m>\frac{-1}{2}$ thì hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

b) Hàm số y = (-3m – 2) x + 5 là hàm số bậc nhất có a = -3m – 2; b = -2

Để hàm số nghịch biến trên $ℝ$ thì a < 0

$\Rightarrow$-3m – 2 < 0

$\iff -3m<2$

$\iff m>\frac{-2}{3}$

Vậy $m>\frac{-2}{3}$ thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$ .