50 bài tập về Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông đầy đủ (có đáp án 2024) - Toán 9

Hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông đầy đủ và cách giải - Toán lớp 9

A. Lý thuyết

Cho ∆ABC vuông tại A có : AH là đường cao. (Như hình vẽ dưới)

Ta có : AB = c (cạnh đối diện góc C) ; AC = b (cạnh đối diện góc B) ; BC = a (cạnh đối diện góc A) ;

AH = h (đường cao); BH = c’ (hình chiếu của c); CH = b’ (hình chiếu của b)

Khi đó, ta có các hệ thức như sau :

B. Phương pháp giải

Ứng dụng 5 hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông trong phần lí thuyết để tìm các giá trị theo yêu cầu bài toán.

C. Ví dụ minh họa

Bài 1:

Giải:

Xét ∆ABC vuông tại A có đường cao AH:

+) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

Bài 2:

Giải:

Xét ∆ABC vuông tại A có đường cao AH:

+) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $h^2=b\text{'}.c\text{'}$

$\iff$AH² = CH.BH

Thay số CH = 40cm và BH = 10cm ta có:

AH² = 40.10

AH² = 400

$\iff$AH = $\sqrt{400}$ = 20 (cm)

+) Ta lại có : BC = BH + CH = 10 + 40 = 50 (cm)

+) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $b^2=a.b\text{'}$

$\iff$AC² = BC.CH

Thay số BC = 50 cm và CH = 40 cm ta có:

AC² = 50.40

AC² = 2000

AC = $\sqrt{2000}$ = 20$\sqrt{5}$ (cm)

+) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: $c^2=a.c\text{'}$

$\iff$AB² = BC.BH

Thay số BC = 50 cm và BH = 10 cm ta có:

AB² = 50.10

AB² = 500

AB = $\sqrt{500}$ = 10$\sqrt{5}$ (cm)

Bài 3:

Giải :

Xét ∆ABC vuông tại A có đường cao AD:

+) Áp dụng định lí Py-ta-go :

+) Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

+) Mặt khác ta có:

BD + CD = BC

$\iff$CD = BC – BD

Thay số BC = $\sqrt{74}$, BD = $\frac{25}{\sqrt{74}}$, CD = y ta có:

y = $\sqrt{74}-\frac{25}{\sqrt{74}}=\frac{49}{\sqrt{74}}$

D. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Đáp án: x = $4\sqrt{3}$, y = 4

Bài 2:

Đáp án: AH = 4,8 cm ; BH = 3,6 cm ; CH = 6,4 cm

Bài 3:

Đáp án: x = 6 ; y = 8

Bài 4:

A. $x^2+y^2=12$

B. x.y = 4

C. x = $2\sqrt{3}$

D. x – y = 3

Đáp án: C

Bài 5:

A. AH.BC = AB.AC

B. CH.CH = AB.AC

C. $A{H}^2=AB.AC$

D. BC = AB + AC

Đáp án: A

Bài 6:

Đáp án: BC = 25cm

Bài 7:

Đáp án: AB = AC = $4\sqrt{2}$

Bài 8:

Đáp án: AH = 7,2 cm ; BH = 5,4cm; CH = 9,6cm

Bài 9:

Đáp án: $a=2\sqrt{2}$(cm)

Bài 10:

Đáp án: $AB=\frac{4\sqrt{41}}{5}\left(cm\right);$ $AC=\sqrt{41}\left(cm\right)$