50 bài tập về Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông đầy đủ (có đáp án 2024) - Toán 9

Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông đầy đủ và cách giải - Toán lớp 9

A. Lý thuyết

Cho tam giác ABC vuông tại A. Có AB = c, AC = b, BC = a.

Ta có các hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông:

Cạnh góc vuông = (cạnh huyền) x (sin góc đối) = (cạnh huyền) x (cos góc kề)

$\begin{array}{l}c=a.\sin \widehat{C}=a.\cos \widehat{B}\\ b=a.\sin \widehat{B}=a.\cos \widehat{C}\end{array}$

Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại) x (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại) x (cot góc kề)

$\begin{array}{l}c=b.\tan \widehat{C}=b.\cot \widehat{B}\\ b=c.\tan \widehat{B}=c.\cot \widehat{C}\end{array}$

B. Các dạng bài

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Phương pháp giải:

Tính độ dài các cạnh và số đo các góc dựa vào dữ kiện cho trước của bài toán. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và các góc của một tam giác vuông để tính toán.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

+) Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

Bài 2:

Giải:

+) Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

Dạng 2: Tính số đo góc, cạnh, đoạn thẳng trong tam giác thường

Phương pháp giải:

Bằng cách kẻ thêm đường cao ta làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và góc thích hợp.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

Xét tam giác ABH vuông tại H (do AH là đường cao)

+) Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

Bài 2:

Giải:

+) Kẻ đường cao AH, HB chính là hình chiếu của AB trên BC.

+) Xét tam giác AHB vuông tại H:

Áp dụng hệ thức giữa góc và cạnh trong tam giác vuông ta có:

+) Ta lại có AB : AC = 1 : 2$\Rightarrow$AC = 2AB$\Rightarrow$AC = 2.8 = 16 (cm)

+) Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

Dạng 3: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

Vẽ hình minh họa đề bài (thường là tam giác vuông, tam giác thường có đường cao). Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông để tính toán giá trị bài toán yêu cầu.

Ví dụ minh họa:

Bài 1:

Giải:

+) Ta có hình vẽ: AB là cây cau, AC là mặt đất, BC là cái thang.

+) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông:

Vậy cây cau cao khoảng 6,9m.

Bài 2:

Giải:

+) Ta có hình vẽ: A là điểm máy bay bắt đầu hạ cánh. C là điểm máy bay tiếp đất. AC là quãng đường bay.

+) Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông:

$\begin{array}{l}AB=AC.\sin \widehat{C}\end{array}$

$\iff AB=20.\sin 5^o$

$\iff AB\approx 1,74$ (km)

Vậy độ cao 1,74 kilômét so với mặt đất phải bắt đầu cho máy bay hạ cánh.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1:

Đáp án: AC = 9,53cm; BC = 12,45cm

Bài 2:

Đáp án: AB = 8cm; $\widehat{C}\approx {53}^{o}8\text{'};\widehat{B}\approx {36}^{o}52\text{'}$

Bài 3:

Đáp án: $PK=3\sqrt{2}$ (cm)

Bài 4:

Đáp án: $AB=5\sqrt{3}$ (cm)

Bài 5:

Đáp án: AC = 7,15cm

Bài 6:

Đáp án: AC = 14cm

Bài 7:

Đáp án: BH = 3,91cm ; CH = 6cm.

Bài 8:

Đáp án: $BD=\frac{10}{\sqrt{3}}$ (cm)

Bài 9:

Đáp án: 142m

Bài 10:

Đáp án: 2,5m

Bài 11:

Đáp án: 961,6m

Bài 12:

Đáp án: 2,07m