Cho hàm số f(x) = x^2 - x nếu x >= 1, = x + nếu x < 1. a) Với a = 2, xét tính liên tục của hàm số tại x = 1

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 30 trang 81 SBT Toán 11 Tập 1: Cho hàm số

a) Với a = 2, xét tính liên tục của hàm số tại x = 1.

b) Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.

Lời giải:

a) Với a = 2, ta có: 

 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2-x\right)=0$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=3$.

Do đó, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x = 1 khi a = 2.

b) Với x < 1 thì f(x) = x + a liên tục trên (−∞; 1).

Với x > 1 thì f(x) = x² – x liên tục trên (1; +∞).

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 1.

Khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)=0$.

Như vậy, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+a\right)=1+a=0\Rightarrow a=-1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên ℝ khi a = −1.