Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của 14C6 là 5 730 năm, tức là sau 5730 năm thì số

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Bài 51 trang 46 SBT Toán 11 Tập 2: Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của $C_6^{14}$ là 5 730 năm, tức là sau 5 730 năm thì số nguyên tử $C_6^{14}$ giảm đi một nửa.

a) Gọi m₀ là khối lượng của $C_6^{14}$ tại thời điểm t = 0. Viết công thức tính khối lượng m(t) của $C_6^{14}$ tại thời điểm t (năm).

b) Một cây còn sống có lượng $C_6^{14}$ trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng $C_6^{14}$ trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ được xác định chết cách đây 2 000 năm. Tính tỉ lệ phần trăm lượng $C_6^{14}$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Lời giải:

a) Chu kì bán rã của $C_6^{14}$ là T = 5 730 (năm).

Cứ sau 5 730 năm thì số nguyên tử $C_6^{14}$ giảm đi một nửa hay sau 5 730 năm, khối lượng của $C_6^{14}$ giảm đi một nửa.

Suy ra khối lượng của $C_6^{14}$ còn lại sau t năm là: $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}.$

b) Từ công thức: $m\left(t\right)=m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}},$ suy ra tỉ lệ phần trăm lượng $C_6^{14}$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó (t = 2 000) so với lúc còn sinh trưởng là:

$\frac{m\left(t\right)}{m_0}\cdot 100\%=\frac{m_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}}{m_0}\cdot 100\%$

$={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}\cdot 100\%={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{2000}{5730}}\cdot 100\%\approx 78,5\%.$