Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r)

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 53 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r).

Lời giải:

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I) với BC.

Ta có: $IH\perp BC$ (tính chất của tiếp tuyến)

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI là tia phân giác của góc BAC

Tam giác ABC đều nên AI cũng là đường cao của tam giác ABC. Khi đó A, I, H thẳng hàng

Ta có: HB = HC (tính chất tam giác đều)

Tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow AI=\frac{2}{3}AH\Rightarrow IH=\frac{1}{3}AH\Rightarrow AH=3IH=3r$

Do AI hay AH là tia phân giác của góc BAC nên ta có:

$\widehat{HAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}{.60}^o={30}^o$

Xét tam giác ABH vuông tại H

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$BH=AH.\tan \widehat{HAB}=3r.\tan {30}^o=3r.\frac{\sqrt{3}}{3}=r\sqrt{3}$

Mà H là trung điểm của BC (do I là trọng tâm và AH là đường trung tuyến)

$\Rightarrow BC=2BH=2r\sqrt{3}$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.3r.2r\sqrt{3}=3r^2\sqrt{3}$

 (đơn vị diện tích)