Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 61 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB

b) Tìm vị trí của điểm M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất

c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABCD có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm

Lời giải:

a)

Ax và By là tiếp tuyến của (O) nên ta có:

$AB\perp Ax$ tại A

$AB\perp By$ tại B

Do đó, Ax // By hay AC // BD

Do đó, ACDB là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Có O là trung điểm của AB (tâm – đường kính)

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

$\Rightarrow$ OI // AC và OI vuông góc với AB tại O

Vì OC và OD lần lượt là các tia phân giác của góc AOM và góc BOM, mà hai góc này là hai góc kề bù nên ta có:  tại O (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{COD}={90}^o$

Xét tam giác COD vuông tại O

OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

$\Rightarrow OI=CI=DI=\frac{CD}{2}$

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.

b)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

CA = CM

DB = DM

Suy ra: AC + BD = CM + DM = CD

Chu vi hình thang ABDC bằng:

AB + BD + DC + CA = AB + 2CD

Vì đường kính AB của (O) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất

Ta có: $CD\ge AB$(vì khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài ngắn nhất trong các độ dài đoạn thẳng tạo bởi hai điểm thuộc hai đường thẳng song song)

Do đó, CD nhỏ nhất khi CD = AB

Khi đó, CD vuông góc với Ax và By (khoảng cách giữa hai đường thẳng song song)

$\Rightarrow$ CD // AB (cùng vuông góc với Ax và By)

Mà OM vuông góc với CD nên OM cũng vuông góc với AB tại O

Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại O với nửa đường tròn (O) thì hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất.

c)

Chu vi hình thang ABDC bằng:

AB + 2CD (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ 14 = 4 + 2.CD  CD = 5 (cm)

Hay CM + DM = 5

$\Rightarrow$ DM = 5 – CM (1)

Tam giác COD vuông tại O có đường cao OM

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$O{M}^2=CM.DM\iff 2^2=CM.DM\iff CM.DM=4\left(2\right)$

Thay (1) vào (2) ta có:

CM.(5 – CM) = 4

$\iff 5CM-C{M}^2-4=0\iff 4CM-C{M}^2+CM-4=0\iff CM(4-CM)+(CM-4)=0\iff CM(4-CM)-(4-CM)=0\iff (CM-1)(4-CM)=0\iff \begin{array}{l}CM=1\\ CM=4\end{array}$

Vì CM = CA (chứng minh trên) nên

AC = 1 (cm) hoặc AC = 4 (cm)

Vậy điểm C cách điểm A 1cm hoặc 4cm thì hình thang ABDC có chu vi bằng 14.