Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 56 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) DE tiếp xúc với đường tròn các đường kính BC

Lời giải:

a)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là tia phân giác của góc HAD

$\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{BAH}=\frac{1}{2}\widehat{HAD}\Rightarrow \widehat{HAD}=2\widehat{BAH}$

AC là tia phân giác của góc HAE

$\Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{CAE}=\frac{1}{2}\widehat{HAE}\Rightarrow \widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$

Từ đó, ta có:

$\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2(\widehat{BAH}+\widehat{HAC})=2\widehat{BAC}={2.90}^o={180}^o$

Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.

c)

Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

$AD\perp DB$ tại B hay BD vuông góc với DE (do A, D, E thẳng hàng)

$AE\perp CE$ tại E hay CE vuông góc với DE (do A, D, E thẳng hàng)

Do đó, CE song song với DB (cùng vuông góc với DE)

Do đó, BDEC là hình thang

Ta có:

M là trung điểm của BC

A là trung điểm của DE (tâm – đường kính)

Do đó, AM là đường trung bình của hình thang BDEC

$\Rightarrow MA//BD\Rightarrow MA\perp DE$

Xét tam giác ABC vuông tại A

AM là đường trung tuyến

$\Rightarrow MA=MB=MC=\frac{BC}{2}$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Mà DE vuông góc với AM tại A nên DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.