Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 63 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

Lời giải:

Gọi E và F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với AD và AC

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AE = AF

BE = BD

CD = CF

BD = BC –  CD

BE = AB – AE

 BD + BE = AB + BC – (AE + CD)

= AB + BC – (AE + CE)

= AB + BC – AC

$\Rightarrow BD=\frac{AB+BC-AC}{2}$

Lại có: CD = BC – BD

CF = AC –  AF

$\Rightarrow$ CD + CF = BC + AC – (BD + AF)

= BC + AC – (BE + AE)

= BC + AC – BA

$CD=\frac{BC+AC-AB}{2}$

Mặt khác ta có:

$BD.CD=\frac{AB+BC-AC}{2}.\frac{BC+AC-AB}{2}=\frac{\left.BC-\left(AC-AB\right)\right]\left.BC+\left(AC-AB\right)\right]}{4}=\frac{B{C}^2-{(AC-AB)}^2}{4}=\frac{B{C}^2-A{C}^2-A{B}^2+2AB.AC}{4}\left(1\right)$

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

$BD.CD=\frac{2AB.AC}{4}=\frac{1}{2}AB.AC=S_{ABC}$

Hay $S_{ABC}=BD.DC$