Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 59 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: AB + AC = 2(R + r)

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

Ta có: BC = 2R

Giả sử đường tròn (O) tiếp với AB tại D, AC tại E và BC tại F

Ta có:

OD vuông góc với AB tại D $\Rightarrow \widehat{ODA}={90}^o$

OE vuông góc với AC tại E $\Rightarrow \widehat{OEA}={90}^o$

$\widehat{DAE}={90}^o$ (tam giác ABC vuông tại A)

Do đó tứ giác AEOD là hình chữ nhật

Mà:

OD vuông góc với AB tại D nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

OE vuông góc với AC tại E nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Mà AB giao AC tại A nên ta có: AE = AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hình chữ nhật AEOD có: AE = AD

Do đó, AEOD là hình vuông

$\Rightarrow$ AD = AE = EO = OD = r

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AD = AE

BD = BF

CE = CF

Ta có:

2R + 2r = BF + FC + AD + AE

= (BD + AD) + (AE + CE)

= AB + AC

Vậy AB = AC = 2(R + r)