Cho tam giác ABC vuông tại A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 58 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao?

b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm.

Lời giải:

a)

Ta có:

OD vuông góc với AB tại D $\Rightarrow \widehat{ODA}={90}^o$

OE vuông góc với AC tại E $\Rightarrow \widehat{OEA}={90}^o$

$\widehat{DAE}={90}^o$ (tam giác ABC vuông tại A)

Do đó tứ giác AEOD là hình chữ nhật

Mà:

OD vuông góc với AB tại D nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O)

OE vuông góc với AC tại E nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Mà AB giao AC tại A nên ta có: AE = AD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Hình chữ nhật AEOD có: AE = AD

Do đó, AEOD là hình vuông

b)

Xét tam giác ABC vuông tại A

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25$

$\Rightarrow BC=5$ (cm)

Theo tính chất hai tiếp tuyến giao nhau ta có:

AD = AE

BD = BF

CE = CF

Mà:

AD = AB – BD

AE = AC – CF

$\Rightarrow$AD + AE = AB – BD + (AC – CF)

= AB + AC – (BD + CF)

= AB + AC – (BF + CF)

= AB + AC – BC

$\Rightarrow AD=AE=\frac{AB+AC-BD}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1\left(cm\right)$

Vậy bán kính đường tròn là:

OD = OE = AD = 1cm