Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 55 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm)

a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?

b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.

c) Tính số đo góc DOE

Lời giải:

a)

Xét tứ giác OCAB

Ta có:

AB vuông góc với AC tại A $\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

AB vuông góc với OB tại B $\Rightarrow \widehat{OBA}={90}^o$

AC vuông góc với OC tại C $\Rightarrow \widehat{OCA}={90}^o$

Do đó, OCAB là hình chữ nhật

Mặt khác : AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó, tứ giác ABOC là hình vuông

b)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :

DB = DM

EM = EC

Chu vi của tam giác ADE bằng :

AD + DE + EA

= AD + DM + ME + EA

= AD + DB + AE + EC

= AB + AC

= 2AB (do AB = AC)

Mà tứ giác ABOC là hình vuông (chứng minh trên) nên:

AB = OB = 2 (cm)

Vậy chu vi của tam giác ADE bằng: 2.2 = 4 (cm)

c)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

OD là tia phân giác của góc BOM

$\Rightarrow \widehat{BOD}=\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{BOM}$

OE là tia phân giác của góc COM

$\Rightarrow \widehat{COE}=\widehat{EOM}=\frac{1}{2}\widehat{COM}$

Từ đó, ta có:

$\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{EOM}=\frac{1}{2}(\widehat{BOM}+\widehat{COM})=\frac{1}{2}\widehat{COB}=\frac{1}{2}{.90}^o={45}^o$