Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 57 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r thì diện tích S của tam giác có công thức : S = p.r

Lời giải:

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Nối OA, OB, OC

Khoảng cách từ tâm O đến các tiếp điểm là đường cao của các tam giác OAB, OAC, OBC

Ta có:

$S_{ABC}=S_{OAB}+S_{OAC}+S_{OBC}\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.r+\frac{1}{2}AC.r+\frac{1}{2}BC.r\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}r\left(AB+AC+BC\right)$

Mà chu vi của tam giác ABC là

2p = AB + AC + BC

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}r.2p=p.r$ (đcpcm)