Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 62 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một mặt phẳng bờ AB). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, H là giao điểm của MN và AB. Chứng minh rằng:

a) $MN\perp AB$

b) MN = NH

Lời giải:

a)

Ta có Ax, By là các tiếp tuyến

$\Rightarrow \text{Ax}\perp AB$ tại A,  tại B

$\Rightarrow$ Ax // By hay AC // BD

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{ND}{NA}=\frac{BD}{AC}$  (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

AC = CM và BD = DM  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$

Xét tam giác ACD có:

$\frac{ND}{NA}=\frac{MD}{MC}$

$\Rightarrow$ MN // AC (theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: $AC\perp AB$ (vì $Ax\perp AB$)

$\Rightarrow MN\perp AB$ tại H

b)

Trong tam giác ACD

Ta có: MN // AC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{MN}{AC}=\frac{DN}{DA}$ (3)

Trong tam giác ABC

Ta có: MH // AC (vì M, N, H thẳng hàng)

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{HN}{AC}=\frac{BN}{BC}$ (4)

Trong tam giác BDN

Ta có: AC // BD

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{ND}{NA}=\frac{BN}{NC}\Rightarrow \frac{ND}{(DN+NA)}=\frac{BN}{(BN+NC)}\iff \frac{ND}{DA}=\frac{BN}{BC}\left(5\right)$

Từ (3), (4) và (5) suy ra:

$\frac{MN}{AC}=\frac{HN}{AC}\Rightarrow MN=HN$