Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 51 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a. Tính số đo góc MON

b. Chứng minh rằng MN = AM + BN

c. Chứng minh rằng $AM.BN=R^2$ (R là bán kính của nửa đường tròn)

Lời giải:

a)

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối OI.

Ta có: $\widehat{AOI}+\widehat{BOI}={180}^o$ (hai góc kề bù)

OM là tia phân giác của góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$(1)

ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{O_4}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}$

Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_4}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}={180}^0$

$\Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{O_4}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^0\Rightarrow \widehat{MON}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^o$

b)

Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: MN = MI + IN

$\Rightarrow$ MN = AM + BN

c)

Xét tam giác OMN vuông tại O

Có OI vuông góc với MN (do MN là tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại I, OI là bán kính)

Do đó, OI là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$O{I}^2=MI.NI$

Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)

$\Rightarrow AM.BN=O{I}^2=R^2$ (đcpcm)