Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 48 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1:

a) Chứng minh rằng OA $\perp$ MN

b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm

Lời giải:

a)

Ta có: AM = AN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A thuộc trung trực của đoạn thẳng MN.

Ta có: OM = ON (= R)

Suy ra O thuộc vào trung trực của đoạn thẳng MN.

Do đó OA là trung trực của đoạn thẳng MN.

Gọi H là giao điểm của AO và MN

$\Rightarrow OA\perp MN$ tại H.

b)

Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O) có NC là đường kính nên tam giác MNC vuông tại M

$\Rightarrow NM\perp MC$ tại M

Mà: $OA\perp MN$tại H

$\Rightarrow$ MC // OA (từ vuông góc đến song song)

c)

Ta có: $AN\perp NC$ (do AN là tiếp tuyến và NC là đường kính)

Xét tam giác AON vuông tại N

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$A{O}^2=A{N}^2+O{N}^2\Rightarrow A{N}^2=A{O}^2-O{N}^2=5^2-3^2=16$

$\Rightarrow AN=\sqrt{16}=4$ (cm)

Do OA là trung trực của đoạn thẳng MN nên H là trung điểm của MN

$\Rightarrow NH=MH=\frac{MN}{2}$

Xét tam giác OAN vuông tại N có đường cao NH

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\text{OA.NH = AN.ON}\Rightarrow \text{NH = }\frac{\text{AN.ON}}{OA}=\frac{4.3}{5}=2,4\left(cm\right)$

$\Rightarrow MN=2NH=2.2,4=4,8$ (cm)