Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1: Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước h (m) theo thời gian t (h) (0 ≤ t ≤ 24) được cho bởi công thức $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$  với m, a là các số thực dương cho trước.

a) Tìm m, a.

b) Tìm thời điểm trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Lời giải:

a) Ta có $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le 1$  với mọi 0 ≤ t ≤ 24 nên $m-a\le m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)\le m+a$ .

Do vậy chiều cao của mực nước cao nhất bằng m + a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=1$  và thấp nhất bằng m – a khi $\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-1$ .

Theo giả thiết, ta có: 

Vậy m = 13 và a = 3.

b) Từ câu a) ta có công thức $h=13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ .

Do chiều cao của mực nước là 11,5 m nên $13+3\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\mathrm{11,5}$ $\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=-\frac{1}{2}$ 

$\iff \cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)=\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 8 và t = 16.

Vậy ứng với hai thời điểm trong ngày là t = 8 (h) và t = 16 (h) thì chiều cao của mực nước là 11,5 m.a