Giải Toán 12 trang 73 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 12 trang 73Tập 1

Bài tập 2.25 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?

Lời giải:

Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{0}$, do đó A đúng.

Vì$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD}=3\overrightarrow{AG}+\left(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=3\overrightarrow{AG}$, do đó B đúng.

Gọi N là trung điểm của CD, khi đó, $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BN}=2.\frac{3}{2}\overrightarrow{BG}=3\overrightarrow{BG}$ nên C đúng.

Ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{GA}$ nên D sai.

Chọn D

Bài tập 2.26 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ $\overrightarrow{AM}$ bằng

Lời giải:

Vì M là trung điểm của CC’ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Chọn B.

Bài tập 2.27 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Vì DC’B’A là hình bình hành nên $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$

Do đó, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ nên A đúng, D sai.

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (quy tắc hình hộp) nên B đúng.

Ta có: $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$, do đó C đúng

Chọn D

Bài tập 2.28 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ bằng

Lời giải:

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

$\cos \widehat{BAM}=\frac{A{M}^2+A{B}^2-M{B}^2}{2AB.MB}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AM}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}\right)=a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a^2}{2}$

Chọn B

Bài tập 2.29 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;2\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;0;3\right)$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

Lời giải:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(1-2;-2+0;2+3\right)=\left(-1;-2;5\right)$ nên A đúng.

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(1+2;-2-0;2-3\right)=\left(3;-2;-1\right)$ nên B đúng.

$3\overrightarrow{a}=\left(3.1;3.\left(-2\right);3.2\right)=\left(3;-6;6\right)$ nên C sai.

$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2.1-2;2.\left(-2\right)+0;2.2+3\right)=\left(0;-4;7\right)$ nên D đúng.

Chọn C

Bài tập 2.30 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có $A\left(-1;0;3\right),B\left(2;1;-1\right)$ và $C\left(3;2;2\right)$. Tọa độ của điểm D là

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(3;1;-4\right)$. Gọi tọa độ của điểm D là D(x; y; z) thì $\overrightarrow{DC}\left(3-x;2-y;2-z\right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow \{\begin{array}{l}3=3-x\\ 1=2-y\\ -4=2-z\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\\ z=6\end{array}$

Do đó, tọa độ của điểm D là $\left(0;1;6\right)$

Chọn C

Bài tập 2.31 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho $A\left(1;0;-1\right),B\left(0;-1;2\right)$ và $G\left(2;1;0\right)$. Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là

A. $\left(5;4;-1\right)$.

B. $\left(-5;-4;1\right)$.

C. $\left(1;2;-1\right)$.

D. $\left(-1;-2;1\right)$