Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn vecto MB + vecto MA = vecto 0 và vecto NC = 2vecto DN

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài tập 2.36 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn $\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}$. Hãy biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Ta có:$\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MA},\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{DN}\Rightarrow \overrightarrow{CN}=-2\overrightarrow{ND}$

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ (1)

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}=-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DN}$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có:

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$

$=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AD}$