Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(4;2;-1), B(1;-1;2) và C(0;-2;3). a) Tìm tọa độ của vectơ AB và tính độ dài đoạn thẳng AB

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài tập 2.41 trang 74 Toán 12 Tập 1:

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(4;2;-1\right),B\left(1;-1;2\right)$ và $C\left(0;-2;3\right)$.a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ và tính độ dài đoạn thẳng AB.b) Tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}$.
c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

Lời giải:

a)$\overrightarrow{AB}=\left(1-4;-1-2;2+1\right)=\left(-3;-3;3\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-3\right)}^2+3^2}=3\sqrt{3}$

b) Gọi M (x; y; z) thì $\overrightarrow{MC}=\left(-x;-2-y,3-z\right)$.

Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}\Rightarrow \{\begin{array}{l}-x=-3\\ -2-y=-3\\ 3-z=3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\\ z=0\end{array}$. Do đó, M(3; 1; 0).

c) Vì N thuộc mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ điểm N là N(x; y; 0)

Ta có: $\overrightarrow{AN}\left(x-4;y-2;1\right);\overrightarrow{BN}\left(x-1;y+1;-2\right)$

Để A, B, N thẳng hàng thì hai vectơ $\overrightarrow{AN},\overrightarrow{BN}$ cùng phương. Do đó, $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{BN}$ (với k là số thực bất kì)

Suy ra, $\{\begin{array}{l}x-4=k\left(x-1\right)\\ y-2=k\left(y+1\right)\\ 1=-2k\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x-4=-\frac{1}{2}\left(x-1\right)\\ y-2=-\frac{1}{2}\left(y+1\right)\\ k=\frac{-1}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}$.

Vậy N(3; 1)