Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;-1;3), B(1;1;-1) và C(-1;0;2). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài tập 2.38 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A\left(2;-1;3\right),B\left(1;1;-1\right)$ và $C\left(-1;0;2\right)$.

Lời giải:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+1-1}{3}=\frac{2}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-1+1+0}{3}=0\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{3-1+2}{3}=\frac{4}{3}\end{array}$

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G$\left(\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}\right)$.

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: $\overrightarrow{BM}\left(-1;-1;z+1\right),\overrightarrow{AC}\left(-3;1;-1\right)$

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên

$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC}=0\iff \left(-1\right).\left(-3\right)+\left(-1\right).1+\left(z+1\right)\left(-1\right)=0$

$\iff 2-z-1=0\iff z=1$.

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.