Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài tập 2.28 trang 73 Toán 12 Tập 1: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}$ bằng

Lời giải:

Tam giác ACD có ba cạnh bằng a nên tam giác ACD đều, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Tam giác CBD có ba cạnh bằng a nên tam giác CBD đều, BM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên $BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Áp dụng định côsin vào tam giác ABM ta có:

$\cos \widehat{BAM}=\frac{A{M}^2+A{B}^2-M{B}^2}{2AB.MB}=\frac{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{2.\frac{a\sqrt{3}}{2}.a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AM}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}\right)=a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a^2}{2}$

Chọn B