Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. a) Biểu diễn vecto AG theo vecto AB, vecto AD và vecto AA'

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 2 trang 73, 74

Bài tập 2.37 trang 74 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên $\overrightarrow{A^{\prime }G}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A^{\prime }I}$.

Vì I là trung điểm BD nên:

$\overrightarrow{A^{\prime }I}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }D}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }A}\right)=-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Do đó, $\overrightarrow{A^{\prime }G}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

Ta có:$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }G}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\frac{2}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)$

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Do đó, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AG}$ cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.